Função do 2º grau

Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas características, pois ela deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax² + bx + c, sendo que a, b e c são números reais com a diferente de zero. Concluímos que a condição para que uma função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode ser igual a zero.




Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax² + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.



Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta.



Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:



f(x) = 5x² – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)



f(x) = x² – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)



f(x) = – x²; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)



Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.



Exemplo 1



A função do 2º grau f(x) = – x2 + x – 2, pode ser representada por y = – x² + x – 2. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos primeiro estipular alguns valores para x. Vamos dizer que x = –3; –2; –1; 0; 1; 2. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:



x = – 3

y = – (–3)² + (–3) – 2

y = –9 – 3 – 2

y = – 12 – 2

y = – 14



x = – 2

y = –( – 2)² + (– 2) – 2

y = – 4 – 2 – 2

y = – 8



x = –1

y = – (–1)² + (–1) – 2

y = – 1 – 1 – 2

y = – 2 – 2

y = – 4



x = 0

y = 0² + 0 – 2

y = – 2



x = 1

y = – 1² + 1 – 2

y = – 1 + 1 – 2

y = – 2





x = 2

y = – 2² + 2 – 2

y = – 4 + 2 – 2

y = – 4



Exemplo 2



Dada a função y = 2x² + x + 3, determine o conjunto imagem referente aos domínios –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.



x = –2

y = 2*(–2)² + (–2) + 3

y = 2*4 – 2 + 3

y = 8 – 2 + 3

y = 9



x = –1

y = 2*(–1)² + (–1) + 3

y = 2 – 1 + 3

y = 4



x = 0

y = 2*0² + 0 + 3

y = 3



x = 1

y = 2*1² + 1 + 3

y = 2 + 1 + 3

y = 6



x = 2

y = 2*2² + 2 + 3

y = 8 + 2 + 3

y = 13



x = 3

y = 2*3² + 3 + 3

y = 18 + 3 + 3

y = 24



x = 4

y = 2*4² + 4 + 3

y = 32 + 4 + 3

y = 39



Exemplo 3



Com relação à função f(x) = 3x² – 5x + m² – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.



f(0) = 0, isso significa que x = 0 e y = 0. A função f(x) = 3x² – 5x + m² – 9 pode ser escrita assim: y = 3x² – 5x + m² – 9, agora basta fazer as substituições:



f(x) = 3x² – 5x + m² – 9

f(0) = 3 * 0² – 5 * 0 + m² – 9

0 = m² – 9

m² = 9

m = √9

m = – 3 ou + 3