Moda e mediana

A moda e a mediana são, assim como a média, medidas de tendência central de um conjunto de dados. São chamadas também de medidas de posição, pois servem para "resumir", em apenas uma informação, a característica desse conjunto de dados.


Dependendo da situação, é mais conveniente usar a média, a moda ou a mediana.
A partir das medidas das alturas de um grupo de pessoas, é possível calcular uma altura que caracteriza o grupo todo.

Conhecendo as notas de um aluno durante um semestre da faculdade, é possível calcular uma nota que
"resume" a sua situação no semestre.

Com base no número de gols de um time, em várias partidas de um campeonato, é possível chegar a um número de gols que descreva a sua situação no campeonato.

Observando os tempos de viagem de um determinado ônibus, em várias viagens, é possível se chegar a um valor que indica, em geral, o tempo dessa viagem.

Moda

Moda é a medida de tendência central que consiste no valor observado com mais frequência em um conjunto de dados.

Se um determinado time fez, em dez partidas, a seguinte quantidade de gols: 3, 2, 0, 3, 0, 4, 3, 2, 1, 3, 1; a moda desse conjunto é de 3 gols.

Se uma linha de ônibus registra, em quinze ocasiões, os tempos de viagens, em minutos: 52, 50, 55, 53, 61, 52, 52, 59, 55, 54, 53, 52, 50, 51, 60; a moda desse conjunto é de 52 minutos.

As alturas de um grupo de pessoas são: 1,82 m; 1,75 m; 1,65 m; 1,58 m; 1,70 m. Nesse caso, não há moda, porque nenhum valor se repete.

Mediana

Mediana é uma medida de tendência central que indica exatamente o valor central de uma amostra de dados.

Exemplos:
As notas de um aluno em um semestre da faculdade, colocadas em ordem crescente, foram: 4,0; 4,0; 5,0; 7,0; 7,0. São cinco notas. A mediana é o valor que está no centro da amostra, ou seja, 5,0. Podemos afirmar que 40% das notas estão acima de 5,0 e 40% estão abaixo de 5,0.

A quantidade de hotéis 3 estrelas espalhados pelas cidades do litoral de um determinado Estado é: 1, 2, 3, 3, 5, 7, 8, 10, 10, 10. Como a amostra possui dez valores e, portanto, não há um valor central, calculamos a mediana tirando a média dos dois valores centrais:

Assim, há exatamente 50% das cidades com mais de 6 hotéis três estrelas e 50% das cidades com menos de 6 hotéis três estrelas.




Dessa forma, podemos resumir o cálculo da mediana da seguinte forma:



- os valores da amostra devem ser colocados em ordem crescente ou decrescente;

- se a quantidade de valores da amostra for ímpar, a mediana é o valor central da amostra. Nesse caso, há a mesma quantidade de valores acima e abaixo desse valor;

- se a quantidade de valores da amostra for par, é preciso tirar a média dos valores centrais para calcular a mediana. Nesse caso, 50% dos valores da amostra estão abaixo e 50% dos valores da amostra estão acima desse valor.

Média aritmética ponderada

           Denpedendo da importância atribuída a algum dado, são associados a ele certos fatores de ponderação (pesos). É muito comun nas escolas se atribuir ponderação (pesos) ás notas. Por exemplo, em uma escola que varoliza o trabalho cooperativo em equipe, há três tipos de avaliação com pesos diferentes:

• teste escrito: peso 1;
• participação individual: peso 1;
• participação no trabalho em equipe: peso 2.

Exemplo 1

Na escola de Gabriel, a média anual de cada matéria é calculada de acordo com os princípios da média ponderada. Considerando que o peso das notas esteja relacionado ao bimestre em questão, determine a média anual de Gabriel sabendo que as notas em Matemática foram iguais a:

1º Bimestre: 7,0
2º Bimestre: 6,0
3º Bimestre: 8,0
4º Bimestre: 7,5

 A média anual de Gabriel é correspondente a 7,3.

Exemplo 2

Buscando melhorar o atendimento ao usuário do sistema de saúde de um município, a prefeitura realizou uma pesquisa de rendimento satisfatório com 500 pessoas. As notas disponibilizadas aos entrevistados no intuito de avaliar o nível de satisfação compreendem a notas inteiras de 1 a 10. Veja os resultados na tabela a seguir:



A média de satisfação dos usuários do sistema de saúde do município em questão foi igual a 5,0.

Como você já viu, a média aritmédica dá uma ideia das caracteristicas de um grupo de numeros. Mas é importante destacar que em algumas situações a presença de um valor muito maior ou muito menor do que os demais faz com que a média aritmedica não consiga traçar o perfil correto do grupo.

Por exemplo: Um grupo de quatro pessoas com idades de 5 anos, 4 anos, 5 anos e 70 anos tem  como média de idade 21 anos (5 + 4 + 5 + 70 / 4 ).Essa média não dá ideia das caracteristicas do grupo.

Em casos como esse devemos usar outras medidas de tendência central, como a moda e a mediana, que veremos a seguir na proxima postagem.





Média Aritmedica

Veja as idades a seguir:
Macia:13 anos
Luciano: 28 anos
Freitas: 47 anos
Maria: 76 anos

Qual é a média dessas idades?

Para responder essa pergunta somaremos todas as idades e dividiremos pelo numero de pessoas.
      Veja:
(13 + 28 + 47 + 76) : 4 = 164 : 4 = 41
Ou, escrevemos de forma de fração.
(13+28+47+76)/4=164/4=41
A média das idades é 41 anos.

Resumindo:
          A média aritmética de vários numeros é a soma desses numeros dividido por quantos forem esses numeros.

Ex:
(7 + 12 + 8) / 3 = 27 / 3 = 9

Resolução de Sistemas

Resolução de Sistemas



A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

Estudaremos a seguir alguns métodos:



Método de substituição

Solução

determinamos o valor de x na 1ª equação.

x = 4 - y

Substituímos esse valor na 2ª equação.
2 . (4 - y) -3y = 3

Resolvemos a equação formada.
8 - 2y -3y = 3

8 - 2y -3y = 3

-5y = -5 => Multiplicamos por -1

5y = 5



y = 1


Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.
x + 1 = 4

x = 4 - 1

x = 3


A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).
V = {(3, 1)}

Método da adição

Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição.

Resolva o sistema abaixo:



Solução

Adicionamos membros a membros as equações:



2x = 16



x = 8



Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:

8 + y = 10

y = 10 - 8

y = 2

A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)

V = {(8, 2)}

Regra de três composta

Regra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas
8
5
Caminhões
20
x
Volume
160
5 x 125

Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).




A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



Logo, serão necessários 25 caminhões.


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2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

Solução: montando a tabela:

Homens
8
4
Carrinhos
20
x
Dia
5
16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



Logo, serão montados 32 carrinhos.


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3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:



Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.


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Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.

Função do 2º grau

Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas características, pois ela deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax² + bx + c, sendo que a, b e c são números reais com a diferente de zero. Concluímos que a condição para que uma função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode ser igual a zero.




Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax² + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.



Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta.



Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:



f(x) = 5x² – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)



f(x) = x² – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)



f(x) = – x²; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)



Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.



Exemplo 1



A função do 2º grau f(x) = – x2 + x – 2, pode ser representada por y = – x² + x – 2. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos primeiro estipular alguns valores para x. Vamos dizer que x = –3; –2; –1; 0; 1; 2. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:



x = – 3

y = – (–3)² + (–3) – 2

y = –9 – 3 – 2

y = – 12 – 2

y = – 14



x = – 2

y = –( – 2)² + (– 2) – 2

y = – 4 – 2 – 2

y = – 8



x = –1

y = – (–1)² + (–1) – 2

y = – 1 – 1 – 2

y = – 2 – 2

y = – 4



x = 0

y = 0² + 0 – 2

y = – 2



x = 1

y = – 1² + 1 – 2

y = – 1 + 1 – 2

y = – 2





x = 2

y = – 2² + 2 – 2

y = – 4 + 2 – 2

y = – 4



Exemplo 2



Dada a função y = 2x² + x + 3, determine o conjunto imagem referente aos domínios –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.



x = –2

y = 2*(–2)² + (–2) + 3

y = 2*4 – 2 + 3

y = 8 – 2 + 3

y = 9



x = –1

y = 2*(–1)² + (–1) + 3

y = 2 – 1 + 3

y = 4



x = 0

y = 2*0² + 0 + 3

y = 3



x = 1

y = 2*1² + 1 + 3

y = 2 + 1 + 3

y = 6



x = 2

y = 2*2² + 2 + 3

y = 8 + 2 + 3

y = 13



x = 3

y = 2*3² + 3 + 3

y = 18 + 3 + 3

y = 24



x = 4

y = 2*4² + 4 + 3

y = 32 + 4 + 3

y = 39



Exemplo 3



Com relação à função f(x) = 3x² – 5x + m² – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.



f(0) = 0, isso significa que x = 0 e y = 0. A função f(x) = 3x² – 5x + m² – 9 pode ser escrita assim: y = 3x² – 5x + m² – 9, agora basta fazer as substituições:



f(x) = 3x² – 5x + m² – 9

f(0) = 3 * 0² – 5 * 0 + m² – 9

0 = m² – 9

m² = 9

m = √9

m = – 3 ou + 3

Função do 1º grau

Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma dependente da outra, isto é, para cada valor atribuído a x corresponde um valor para y. Definimos essa dependência como função, nesse caso, y está em função de x. O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função e os valores de y são a imagem da função.


Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma função do 1º grau a lei de formação será a seguinte: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.

Esse tipo de função deve ser dos Reais para os Reais.

A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano. Observe:

Função crescente                      Função decrescente

Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.

Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem.
Exemplos de funções do 1º grau
y = 4x + 2, a = 4 e b = 2
y = 5x – 9, a = 5 e b = –9
y = – 2x + 10, a = – 2 e b = 10
y = 3x, a = 3 e b = 0
y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1
Raiz ou zero de uma função do 1º grau
Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso considerar
y = 0. De acordo com gráfico, no instante em que y assume valor igual a zero, a reta intersecta o eixo x em um determinado ponto, determinando a raiz ou o zero da função.
Vamos determinar a raiz das funções a seguir:
y = 4x + 2
y = 0
4x + 2 = 0
4x = –2
x = –2/4
x = –1/2
A reta representada pela função y = 4x + 2 intersecta o eixo x no seguinte valor: –1/2
y = – 2x + 10
y = 0
– 2x + 10 = 0
– 2x = – 10 (–1)
2x = 10
x = 10/2
x = 5
A reta representada pela função y = – 2x + 10 intersecta o eixo x no seguinte valor: 5