Matematica

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sábado, 27 de março de 2010

Produtos notaveis

No link Produtos Notáveis, existem outros trinta (30) produtos notáveis importantes.

1.Quadrado da soma de dois termos

Sabemos que x²=x.x, y²=y.y, mas não é verdade que

x² + y² = (x+y)²

a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:

(x+y)² = x² + 2xy + y²

Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.

Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:

x+y
x+y
+xy+y²
x²+xy
x²+2xy+y²
Compare
as duas
operações
10+3
10-3
+10.3+3²
10²+10.3
10²+2.10.3+3²


Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:

(x+y)² = x² + 2xy + y²

Exemplos:

(x+8)² = x²+2.x.8+8² = x²+16x+64
(3k+y)² = (3k)²+2.3k.y+y² = 9k²+6ky+y²
(1+x/5)² = 1+ 2x/5 +x²/25

Pensando um pouco:

1.Se (x+7)²=x²+[ ]+49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [ ]?

2.Se (5a+[ ])² = 25a²+30a+[ ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?

3.Se ([ ]+9)² = x²+[ ]+81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?

4.Se (4b+[ ])² = l6b²+36b+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.

5.Se (c+8)²=c²+[ ]+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.

2.Quadrado da diferença de dois termos

Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:

(x-y)² = x² - 2xy + y²



Exemplos:

(x-4)² = x²-2.x.4+4² = x²-8x+16
(9-k)² = 9²-2.9.k+k² = 81-18k+k²
(2/y -x)² = (2/y)²-2.(2/y).x+x²

3.Produto da soma pela diferença de dois termos

Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.

x+y
x-y
-xy-y²
x²+xy
x² -y²
Compare
as duas
operações 10+3
10-3
-10.3-3²
10²+10.3
10² - 3²


Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.

(x+y)(x-y) = x² - y²

Exemplos:

(x+2)(x-2) = x²-2x+2x-4 = x²-4
(g-8)(g+8) = g²-8g+8g-64 = g²-64
(k-20)(k+20) = k²-400
(9-z)(9+z) = 81-z²

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