Matematica

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sexta-feira, 22 de janeiro de 2010

Resolução de uma equação


Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo:

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.


Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:

Sendo
, resolva a equação
.

MMC (4, 6) = 12


-9x = 10 => Multiplicador por (-1)

9x = -10




Como , então
.



Sendo U = Q, resolva a equação 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4).

Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:



2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8

2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3

3x = -1


Como , então.

Raízes de uma equação

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação.

Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte seqüência:

Substituir a incógnita por esse número.

Determinar o valor de cada membro da equação.

Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.



Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.

Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F)

Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F)

Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V)

Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.



Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.



Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F)

Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F)

Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F)

Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F)



A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação

Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.

Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação.



Observe este outro exemplo:

Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25

O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.

Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.

Daí concluímos que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.



Observações:

O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.


Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais.



O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.

Equações de primeiro grau


Introdução

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0

onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:


Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.


Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.


Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.

Mínimo Múltiplo Comum

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL
Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.
24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então
dizemos que ele é múltiplo desse outro.


Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.

Exemplo: os múltiplos de 7 são:
7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

Observações importantes:
1) Um número tem infinitos múltiplos
2) Zero é múltiplo de qualquer número natural



MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)
Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.




CÁLCULO DO M.M.C.
Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

1º) decompomos os números em fatores primos
2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

12 = 2 x 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5

Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
12 = 22 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores
comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.




PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)
Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120





PROPRIEDADE DO M.M.C.
Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:


m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então
ele é o m.m.c. dos números dados.



Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:


m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

Máximo Divisor Comum

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.


Alguns exemplos:
mdc (6,12) = 6
mdc (12,20) = 4
mdc (20,24) = 4
mdc (12,20,24) = 4
mdc (6,12,15) = 3

CÁLCULO DO M.D.C.
Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 = 2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 22 x 32
90 = 2 x 32 x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.




CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS
Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

Regra prática:

1º) dividimos o número maior pelo número menor;
48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;
30 / 18 = 1 (com resto 12)

18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.


NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum desses números é 1.


Exemplos:
Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.


PROPRIEDADE DO M.D.C.
Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

6 = 2 x 3
18 = 2 x 32
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então
ele é o m.d.c. dos números dados.

Determinação dos divisores de um número

Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos.
Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:

1º) decompomos o número em fatores primos;
2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número;


3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;


4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.



Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.

De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior
que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.


Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.



Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 32 x 5 x 7.

Numeros primos

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações:
=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
=> 2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos:

1) O número 161:

não é par, portanto não é divisível por 2;
1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.

2) O número 113:

não é par, portanto não é divisível por 2;
1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

Critérios de divisibilidade

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.


Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.


Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).


Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.


Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.


Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.


Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.

O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.

Exemplos:
1) 87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si-Sp = 22-11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

2) 439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si-Sp = 10-21
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.


Divisibilidade por 12
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).


Divisibilidade por 15
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.

Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).


Divisibilidade por 25
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.

Exemplos:
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

Divisão de frações

Divisão de Frações

Depois de já termos estudado soma, subtração e multiplicação de frações, fica muito fácil aprendermos divisão, mais uma vez estudaremos através de exemplos.
O primeiro problema será dividir:
25/4 : 2/5 =

É muito simples, o que temos que fazer é pegar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda.

O inverso 2/5 de 5/2 é . Com essa informação montaremos novamente a conta, porém ao invés de dividirmos, iremos multiplicar.
Agora o problema é resolver: 25/4 x 5/2 =

Como já estudamos multiplicação de frações fica fácil resolver.

Depois de feita a multiplicação o resultado obtido foi: 125/8

A fração 125/8 é uma fração imprópria, como já visto nas aulas anteriores vamos simplifica-la.

O resultado final é: 15 inteiros e 5/8

Mutiplicação de frações

A primeira fração que iremos estudar é a seguinte:

8/3 . 5/4=

Este problema pode ser resolvido multiplicando os numeradores (os 8 e 5 ), dando 40 que serão o numeradores da nossa resposta.
Também, nós multiplicaremos os dois denominadores (os 3 e 4 ), dando 12 que serão os denominadores da nossa resposta.

Essa fração é uma fração imprópria ( o numerador é maior que o denominador ).Portanto vamos reduzi-la ao menor termo. FAzemos isso dividindo o numerador pelo denominador 40/12 a parte inteira do resultado ( 3 ) vai a frente da fração, o resto torna-se o numerador e mantemos o denominador.O resultado obtido é o seguinte:
3 inteiros e 4/12


O resultado obtido não está reduzido ao menor termo, portanto podemos reduzir ainda mais essa fração, dividindo o numerador e o denominador por 4 .

Por que por 4 ? O 4 é o menor denominador comum entre 4 e 12

O resultado final é: 3 inteiros e 1/3


Segundo Caso
O problema agora é resolver : 2 inteiros e 8/3 x 5 inteiros e 9/2 =

Para começar temos que transformar as duas frações em frações impróprias, fazemos isso multiplicando o denominador pelo número inteiro a frente da fração e somando o resultado dessa multiplicação com o numerador da fração. Fazendo isso obtemos a seguinte multiplicação:
14/3 x 19/2


O próximo o procediment o é efetuar a multiplicação, fazendo isso encontramos o seguinte resultado:
266/6


Como essa é uma fração imprópria vamos trabalhar mais um pouco. Vamos dividir o numerador pelo denominador, a parte inteira obtida vai a frente da fração, o resto é o numerador e conservamos o denominador, após isso o resultado obtido é esse:

44 inteiros e 2/6 podemos simplificar um pouco mais dividindo o numerador e o denominador por 2

O resultado final é: 44 inteiros e 1/3

Subtração de frações

SUBTRAÇÂO DE FRAÇÕES
Subtrair frações é tão fácil quanto somar, vamos ao primeiro exemplo.
O primeiro problema é subtrair:25/2 - 18/4 =

Estas duas frações não têm os mesmos denominadores, assim nós temos que achar um denominador comum das duas frações, antes de efetuar a subtração.

O menor divisor comum entre 2 e 4 é ( 4 )

Achando o denominador comum, temos que transformar as frações para depois subtrai-las, ficando assim:
50 - 18/4 =

Efetuando essa subtração obtemos o seguinte resultado: simplificando (dividir 32 por 4) o resultado final é: 8

Segundo caso:

O Problema agora é subtrair: 30/12 - 9/4

Mais uma vez, como as frações não possuem o mesmo denominador,nós temos que achar um denominador comum, e o denominador comum entre 12 e 4 é ( 12 ).

Depois de achado o denominador comum transformamos a fração ficando assim:
30/12 - 27/12


Eefetuando a subtração e chegamos ao seguinte resultado:
3/12
A ultima etapa é simplificar a fração ( dividimos o numerador e o denominador por 3 )

A resposta final é: 1/4

E se lhe pedirmos para pegar o resultado obtido 3/2? e subtrair 3/2?

é muito simples, acompanhe...

Mais uma vez vamos achar o denominador comum entre 4 e 2 = 12
Agora efetuamos as operações, ficando assim:
1 - 6/4=


O resultado final é: -5/4


Terceiro caso:

Agora o problema é resolver:8 inteiros e 7/3 - 3 inteiros 9/5=

O denominador comum entre 3 e 5 é 15

Depois de efetuarmos as operações a operação fica assim:
8 inteiros e 35/15 - 3 inteiros e 27/1=


Agora é só subtrairmos. 8 - 3 = 5 e 35/15 - 27/15 = 8/15

O resultado final é: 5 inteiros e 8/15

quinta-feira, 21 de janeiro de 2010

adição de frações

Quando as frações possuem o mesmo denominador, somamos os numeradores e conservamos o denominador.
Ex:
24/3 + 6/3 = 30/3 simplificando = 10
15/8 + 16/8 = 31/8
19/23 + 4/23 = 23/23 = 1
5/9 + 3/9 = 8/9

No entanto, quando as frações têm denominadores diferentes, aparece uma dificuldade.
Ex: 1/4 + 1/3 =

Nesse caso os denominadores são diferentes, portanto devemos descobrir MMC (mínimo múltiplo comum) para que possamos resolve-la.
mmc (4,3) = 12

O MMC entre 4 e 3 é o 12 , sabemos disso pois o 12 é o menor número que pode ser dividido pelos dois denominadores (4,3).

O próximo passo é dividir o MMC achado, neste caso o 12 pelo denominador de cada fração e mutiplicar o resultado da divisão pelo numerador.
1 x 4 + 1 x 3/12

Portanto fica assim:
4 + 3/12 = 7/12

Resolva:
25/8 + 17/3

Resposta:
Estas duas frações não têm os mesmos denominadores, assim nós temos que achar um denominador comum das duas frações, antes dos somar, primeiro.
Para os denominadores aqui, os 8 e 3, um denominador comum para ambos é 24 .

Com o denominador comum,
o 25⁄8se torna 75/24
o 17/3 se torna 136/24

Agora o problema é somar 211/24 com 8 inteiros 19/24
Desde que estas duas frações tenham os mesmos denominadores (os números debaixo da barra de fração), nós podemos os somar os numeradores simplesmente ( 75 e 136 = 211 ), enquanto mantemos o mesmo denominador ( 24 ) .

Nossa resposta aqui é: 211/24

A fração 8 inteiros e 19/24 é uma fração imprópria (o numerador é maior que o denominador).

Não há nada errado, você até poderia deixar a fração dessa maneira, mas podemos ainda simplificar um pouco mais essa fração, descobrindo o número inteiro dessa fração.

Achamos o número inteiro dividindo o numerador 211 pelo denominador 24 .

Neste caso nós obtemos 8 .

A parte fracionária do número é encontrada usando o remanescente da divisão,
neste caso o 19, (211 divididos por 24 = 8 resto = 19).

Portanto a resposta final é: 8 inteiros 19/24.

O problema agora é somar 2 inteiros e 8/9 + 25/8 =

Estas duas frações não têm os mesmos denominadores, assim nós temos que achar um denominador comum das duas frações, antes dos somar.

Para os denominadores aqui, os 9 e 8 , um denominador comum para ambos é 72 .

Agora o processo é o mesmo que já fizemos, dividimos o denominador comum achado (72) pelo dennominador de cada fração e mutiplicamos o resultado achado pelo numerador.

Na fração 2 inteiros e 8/9 dividimos o denominador comum ( 72 ) pelo denominador da expressão ( 9 ), o resultado obtido ( 8 ) multiplicamos pelo numerador ( 8 ) e obtivemos 64 . fizemos o mesmo na segunda fração.

Agora o problema é somar: 2 inteiros e 64/72 + 225/72 =

Desde que estas duas frações tenham os mesmos denominadores ( os números debaixo da barra de fração ), nós podemos os somar os numeradores ( 64 + 225 = 289 ), enquanto mantemos o mesmo denominador ( 72 ).

Obtemos a seguinte resposta:2 inteiros duzentos e oitenta e setenta e dois avos.

A Fração 2 inteiros e 289/72 é uma fração imprópria ( o numerator é maior que o denominador ). Novamente vamos achar o número inteiro dividindo 289 por 72 o resultado é 4 e o resto é 1 . Agora somamos os números inteiros e montamos a fração.

O Resultado final é:6 inteiros e 1/72

Terceiro Caso

O Problema agora é o seguinte: Somar 2 inteiros e 7/3 + 1 inteiro e 5/8 =
Mais uma vez vamos achar o denominador comum das duas frações antes de somar. O denominador comum entre 3 e 8 é 24 .

Agora o processo é o mesmo das outras operações que já fizemos, achado o denominador comum, efetuamos as operações, assim, o 2 inteiros e 7/3 fica 2 inteiros e 56/24 e o 1 inteiro e 5/8 fica .

Agora o problema é somar: 2 inteiros 56/24 + 1 inteiros e 15/24 =

Como o denominador é o mesmo, conservamos o denominador e somamos os numeradores: 56 + 15 = 71

E também somamos as partes inteiras: 2 + 1 = 3
obtemos a seguinte resposta: 3 inteiros e 71/24

Como o numerador é maior que o denominador podemos simplificar ainda mais essa fração.
71 / 24 = 2 e o resto é 23

Somamos os números inteiros: 3 + 2 = 5 e montamos a fração.

O Resultado final é: 5 inteiros 23/24

quarta-feira, 20 de janeiro de 2010

Operações: Potenciação

Propriedades das potências
Mutiplicação
O que representa a expressão 73 . 72 ?
73 . 72 = (7. 7. 7) . (7 . 7)
= 7.7.7.7.7
= 75
Assim: 7³ . 7² = 73 + 2 = 75
Para multiplicar potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.
Divisão
O que representa a expressão 25 : 2³ ?
25 : 2³ = (2 .2 .2 .2 .2)/(2 .2 .2) = 2²
Assim: 25 : 2³ = 25 – 3 = 2²
Para dividir potências da mesma base, conservamos a base e sudtraímos os expoentes.
Potência de Potência
Qual é o significado da expressão (5²)³ ?
(5²)³ = 5² . 5² . 5²
= 5 .5 .5 .5 .5 .5
= 56
Assim: (5²)³ = 52 . 3 = 56
Para elevar uma potência a outra, mutiplicamos os expoentes.
Potência de um produto
Qual é o significado da expressão (2 . 5)³ ?
(2 . 5)³ = (2 . 5) . (2 . 5) . (2 . 5)
= 2 . 5 . 2 . 5 . 2 . 5
= 2 . 2 . 2 . 5 . 5 . 5
= 2³ . 5³
Assim: (2 . 5)³ = 2³ . 5³
Para elevar um produto a um expoente, elevamos cada fator a esse expoente.

Operações Fundamentais : Mutiplicação e Divisão.

*Mutiplicação.
• Comutatividade: A ordem dos fatores não altera o resultado da operação. Assim, se x . y = z, logo y . x = z.
Exemplo:3 x 2 = 6 , logo 2 x 3=6
• Associatividade: O agrupamento dos fatores não altera o resultado. Assim, se (x . y) . z = w, logo x . (y . z) = w.
• Distributividade: Um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim, x . (y + z) = (x . y) + (x . z).
• Elemento neutro: O fator 1 (um) não altera o resultado dos demais fatores. O um é chamado "Elemento neutro" da multiplicação. Assim, se x . y = z, logo x . y . 1 = z.(obs:o 0 é o da soma.)
• Elemento opositor: O fator -1 (menos um) transforma o produto em seu simétrico. Assim, -1 . x = -x e -1 . y = -y, para y diferente de x.
• Fechamento: O produto de dois números reais será sempre um número real.
• Anulação: O fator 0 (zero) anula o produto. Assim, x . 0 = 0, e y . 0 = 0, com x diferente de y.
Na matemática , podemos dizer que a multiplicação é a mais simples formar de agruparmos uma quantidade finita de números.Ao efeturmaos uma multiplicação , chegamos a uma resposta que é chamada de PRODUTO.Na geometria , está relacionada tembém como uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de retas dados, podemos determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois inciais.

*Divisão
• Divisor neutro: Qualquer número dividido por 1 (um) terá como quociente o próprio número dividido.
• Anulação: Qualquer número dividido por ∞ (infinito) ou -∞ (menos infinito) irá tender sempre a zero.
• Indeterminação: As divisões 0 ÷ 0 e ∞ ÷ ∞ não têm um quociente determinado; qualquer número pode ser usado como solução.
• Divisão por zero: O resultado de uma divisão de um número não-nulo por 0 tende ao infinito.
• Resto: Em N (sendo um número não-nulo), o resto de uma divisão não pode ser maior ou igual ao divisor.
A divisão é a única das quatro operações fundamentais que não tem a propriedade de fechamento. Nem sempre um número real pode ser dividido por outro número real, pois nenhum número pode ser dividido por zero.

Operações Fundamentais : Adição e Subtração.

*Adição
• Comutatividade: A ordem das parcelas não altera o resultado final da operação. Assim, se 3 + 5 = 8, logo 5 + 3 = 8.
• Associatividade: O agrupamento das parcelas não altera o resultado. Assim, se (5 + 6) + 7 = 18, logo 5 + (6 + 7) = 18.
• Elemento neutro: A parcela 0 (zero) não altera o resultado das demais parcelas. O zero é chamado "elemento neutro" da adição. Assim, se 3 + 5 = 8, logo 3 + 5 + 0 = 8.
• Fechamento: A soma de dois números reais será sempre um número real.
• Anulação: A soma de qualquer número e o seu oposto é zero. Exemplo:
2 + (-2) = 0
(-999) + 999 = 0
Todas estas propriedades estão relacionadas às propriedades genéricas de uma operação binária.

*Subtração
• Fechamento: A diferença de dois números reais será sempre um numero real.
• Elemento neutro: O número 0 (zero) não altera a diferença, em qualquer posição. Assim, x - 0 = x, y - 0 = y, e x - 0 - y = x - y, sendo x diferente de y.
• Anulação: Quando o minuendo é igual ao subtraendo, a diferença será 0 (zero).

Definição da Matemática

A matemática (do grego máthēma (μάθημα): ciência, conhecimento, aprendizagem; mathēmatikós (μαθηματικός): apreciador do conhecimento) é a ciência do raciocínio lógico e abstrato. Ela envolve uma permanente procura da verdade. É rigorosa e precisa. Embora muitas teorias descobertas há longos anos ainda hoje se mantenham válidas e úteis, a matemática continua permanentemente a modificar-se e a desenvolver-se.

Há muito tempo busca-se um consenso quanto à definição do que é a matemática. No entanto, nas últimas décadas do século XX tomou forma uma definição que tem ampla aceitação entre os matemáticos: matemática é a ciência das regularidades (padrões). Segundo esta definição, o trabalho do matemático consiste em examinar padrões abstratos, tanto reais como imaginários, visuais ou mentais. Ou seja, os matemáticos procuram regularidades nos números, no espaço, na ciência e na imaginação e as teorias matemáticas tentam explicar as relações entre elas.

Uma outra definição seria que é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum. As estruturas específicas geralmente têm sua origem nas ciências naturais, mais comumente na física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões puramente internas à matemática (matematica pura), por exemplo, ao perceberem que as estruturas fornecem uma generalização unificante de vários subcampos ou uma ferramenta útil em cálculos comuns.

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