Equações de 1º grau ( com duas variaves

Equações de primeiro grau

(com duas variáveis)







Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y



Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, pode ser transformada numa equação equivalente mais simples. Assim:



2x + 3y = 5 + 6

2x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c .



Denominando equação de 1º grau com duas variáveis, x e y, a toda equação que pode ser reproduzida à forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, simultaneamente.



Na equação ax + by = c, denominamos:

x + y - variáveis ou incógnita
a - coeficiente de x
b - coeficiente de y
c - termo independente




Exemplos:

x + y = 30
2x + 3y = 15

x - 4y = 10
-3x - 7y = -48
2x- 3y = 0

x - y = 8






Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis



Quais o valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira?



Observe os pares abaixo:

x = 6, y = 1

x - 2y = 4

6 - 2 . 1 = 4

6 - 2 = 4

4 = 4 (V)




x = 8, y = 2

x - 2y = 4

8 - 2 . 2 = 4

8 - 4 = 4

4 = 4 (V)




x = -2, y = -3

x - 2y = 4

-2 - 2 . (-3) = 4

-2 + 6 = 4

4 = 4 (V)




Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4.

Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação.

Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos (x, y) - , sendo, portanto, seu conjunto universo Q x Q.

Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, calculando a seguir o valor da outra. Exemplo:

Determine uma solução para a equação 3x - y = 8.

Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim:


3x - y = 8

3 . (1) - y = 8

3 - y = 8

-y = 5 ==> Multiplicamos por -1

y = -5




O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação.

V = {(1, -5)}



Resumindo:

Um par ordenado (r, s) é solução de uma equação ax + by = c (a e b não-nulos simultaneamente), se para x = r e y = s a sentença é verdadeira.

Equações de 1º grau ( com duas variaves

Pares ordenados

Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem.

Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:
(3,4) (-2,1/2)
3= 1º elemanto -2= 1º elemanto
4= 2º elemento 1/2= 2º elemento

Assim:

Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.




Observações

De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos:. Exemplos

2. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s.


Representação gráfica de um Par Ordenado

Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.

Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.



Coordenadas Cartesianas

Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:



A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.

Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par.

Plano Cartesiano

Representamos um par ordenado em um plano cartesiano.
Esse plano é formado por duas retas, x e y, perpendiculares entre si.
A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x).
A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).
O ponto comum dessas duas retas é denominado
origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).
Localização de um Ponto



Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:

O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.

O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.

No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo:

Localize o ponto (4, 3).



Produto Cartesiano

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}.
Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.



Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}

Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por:
x é a e y é b.


Logo:

Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde x é a e y é b.