Fatoração: Fator Comum em Evidência
A fatoração surge como um recurso da Matemática para facilitar os cálculos algébricos; através dela conseguimos resolver situações mais complexas.
Na fatoração por fator comum em evidência, utilizamos a idéia de fazer grupos de polinômios, ao fatorar escrevemos a expressão na forma de produto de expressões mais simples.
O polinômio x² + 2x possui forma fatorada, veja:
x² + 2x .: podemos dizer que o monômio x é comum a todos os termos, então vamos colocá-lo em evidência e dividir cada termo do polinômio x² + 2x por x.
Temos: x (x + 2)
Concluímos que x (x + 2) é a forma fatorada do polinômio x² + 2x.
Para termos certeza dos cálculos, podemos aplicar a distribuição na expressão x (x + 2) voltando ao polinômio x² + 2x.
Exemplos de fatoração utilizando fator comum em evidência:
Exemplo 1
8x³ - 2x² + 6x (fator comum: 2x)
2x (4x² - x + 3)
Exemplo 2
a6 – 4a² (fator comum: a²)
a² (a4 – 4)
Exemplo 3
4x³ + 2x² + 6x (notamos que o monômio 2x é comum a todos os termos)
2x (2x² + x + 3)
Exemplo 4
6x³y³ – 9x²y + 15xy² (fator comum: 3xy)
3xy (2x²y² – 3x + 5y)
Exemplo 5
8b4 – 16b² – 24b (fator comum: 8b)
8b (b³ – 2b – 3)
Exemplo 6
8x² – 32x – 24 (fator comum: 8)
8 (x² – 4x – 3)
Exemplo 7
3x² – 9xy + 6x + 21x³ (fator comum: 3x)
3x (x – 3y + 2 + 7x²)
Exemplo 8
5a²b³c4 + 15 abc + 50a4bc² (fator comum: 5abc)
5abc (ab²c³ + 3 + 10a³c)
Aplicação do fator comum em evidência na resolução de uma equação produto (exemplo 9) e na resolução de uma equação incompleta do 2º grau (exemplo 10).
Exemplo 9
(3x – 2) (x – 5) = 0
Temos:
3x – 2 = 0
3x = 2
x’ = 2/3
x – 5 = 0
x’’ = 5
Exemplo 10
2x² - 200 = 0
Temos:
2x² = 200
x² = 200/2
x² = 100
√x² = √100
x’ = 10
x’’ = – 10
sexta-feira, 1 de outubro de 2010
Cubo da soma e Cubo da diferença
Cubo da soma e Cubo da diferença
As técnicas resolutivas de produtos notáveis são de grande importância na resolução de expressões onde o expoente possui valor numérico igual a 3. As expressões (a + b)³ e (a – b)³ podem ser resolvidas pelo método da distribuição ou pelo método da resolução prática. Demonstraremos as duas situações, deixando a critério do estudante optar pela melhor forma de resolução.
Cubo da Soma
Temos que a expressão (a + b)³ pode ser escrita da seguinte forma: (a + b)² * (a + b). A decomposição permite aplicarmos o quadrado da soma na expressão (a + b)², multiplicando o resultado pela expressão (a + b). Veja:
(a + b)² = a² + 2ab + b² → (a² + 2ab + b²) * (a + b) = a²*a + a²*b + 2ab*a + 2ab*b + b²*a + b²*b
a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ → a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(2x + 3)³ = (2x + 3)² * (2x + 3)
(2x + 3)² = (2x)² + 2*2x*3 + (3²) = 4x² + 12x + 9
(4x² + 12x + 9) * (2x + 3) = 4x²*2x + 4x²*3 + 12x*2x + 12x*3 + 9*2x + 9*3 =
8x³ + 12x² + 24x² + 36x + 18x + 27 = 8x³ + 36x² + 54x + 27
Regra Prática
“O cubo do primeiro termo mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo mais o cubo do segundo termo.”
(x + 3)³ = (x)³ + 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² + (3)³ = x³ + 9x² + 27x + 27
(2b + 2)³ = (2b)³ + 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² + (2)³ = 8b³ + 24b² + 24b + 8
Cubo da Diferença
O cubo da diferença pode ser desenvolvido de acordo com os princípios resolutivos do cubo da soma. A única alteração a ser efetuada é quanto à utilização do sinal negativo. Observe:
Regra prática
“O cubo do primeiro termo menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo.”
(x – 3)³ = (x)³ – 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² – (3)³ = x³ – 9x² + 27x – 27
(2b – 2)³ = (2b)³ – 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² – (2)³ = 8b³ – 24b² + 24b – 8
As técnicas resolutivas de produtos notáveis são de grande importância na resolução de expressões onde o expoente possui valor numérico igual a 3. As expressões (a + b)³ e (a – b)³ podem ser resolvidas pelo método da distribuição ou pelo método da resolução prática. Demonstraremos as duas situações, deixando a critério do estudante optar pela melhor forma de resolução.
Cubo da Soma
Temos que a expressão (a + b)³ pode ser escrita da seguinte forma: (a + b)² * (a + b). A decomposição permite aplicarmos o quadrado da soma na expressão (a + b)², multiplicando o resultado pela expressão (a + b). Veja:
(a + b)² = a² + 2ab + b² → (a² + 2ab + b²) * (a + b) = a²*a + a²*b + 2ab*a + 2ab*b + b²*a + b²*b
a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ → a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(2x + 3)³ = (2x + 3)² * (2x + 3)
(2x + 3)² = (2x)² + 2*2x*3 + (3²) = 4x² + 12x + 9
(4x² + 12x + 9) * (2x + 3) = 4x²*2x + 4x²*3 + 12x*2x + 12x*3 + 9*2x + 9*3 =
8x³ + 12x² + 24x² + 36x + 18x + 27 = 8x³ + 36x² + 54x + 27
Regra Prática
“O cubo do primeiro termo mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo mais o cubo do segundo termo.”
(x + 3)³ = (x)³ + 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² + (3)³ = x³ + 9x² + 27x + 27
(2b + 2)³ = (2b)³ + 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² + (2)³ = 8b³ + 24b² + 24b + 8
Cubo da Diferença
O cubo da diferença pode ser desenvolvido de acordo com os princípios resolutivos do cubo da soma. A única alteração a ser efetuada é quanto à utilização do sinal negativo. Observe:
Regra prática
“O cubo do primeiro termo menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo.”
(x – 3)³ = (x)³ – 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² – (3)³ = x³ – 9x² + 27x – 27
(2b – 2)³ = (2b)³ – 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² – (2)³ = 8b³ – 24b² + 24b – 8
domingo, 16 de maio de 2010
RAIZ CÚBICA EXATA
(RAIZ CÚBICA EXATA.)
CONHECENDO MEU SISTEMA DE EXTRAÇÃO DE RAÍZES QUADRADAS EXATAS, VOCÊ VAI PERCEBER QUE EXTRAIR RAIZES CÚBICAS É AINDA MUITO MAIS FÁCIL.
REGRA GERAL:
Em qualquer um dos processos a primeira coisa a ser feita é eliminarmos o penúltimo número e o antepenúltimo número.
2.1 Eliminarmos o penúltimo e o antepenúltimo número.
Exemplo 01:
√1331
√1##1
Exemplo 02:
√10648
√10##8
Exemplo 03:
√110592
√110##2
Exemplo 04:
√1000000
√1000##0
2.2 Extrai a raiz cúbica exata do número da esquerda, se o número da esquerda não for uma raiz cúbica exata, procuramos à raiz cúbica exata mais próxima deste número e menor que ele.
Exemplo 01:
√1331
√1##1
↓
√1
↓
1
Exemplo 02:
√10648
√10##8
↓
√8
↓
2
Exemplo 03:
√110592
√110##2
↓
√ 64
↓
4
Exemplo 04:
√1000000
√1000##0
↓
√1000
↓
10
2.4 Olho clínico.
*Ao olhar para a raiz, saber o
algarismo final de seu resultado.
Fórmula para saber o final da raiz.
Qn=n3
√ 0 = 0
√ 1 = 1
√ 8 = 2
√ 27 = 3
√ 64 = 4
√125 = 5
√216 = 6
√343 = 7
√512 = 8
√729 = 9
*Se a raiz cúbica terminar em 8 terá final 2, ou seja o que falta para completar 10.
*Se a raiz cúbica terminar em 2 terá final 8, ou seja o que falta para completar 10.
*Se a raiz cúbica terminar em 7 terá final 3, ou seja o que falta para completar 10.
*Se a raiz cúbica terminar em 3 terá final 7, ou seja o que falta para completar 10.
Os restantes das raízes cúbicas terão como algarismo final do seu resultado o mesmo algarismo que ela termina.
*Se a raiz cúbica terminar em 0 terá final 0.
*Se a raiz cúbica terminar em 1 terá final 1.
*Se a raiz cúbica terminar em 4 terá final 4.
*Se a raiz cúbica terminar em 5 terá final 5.
*Se a raiz cúbica terminar em 6 terá final 6.
*Se a raiz cúbica terminar em 9 terá final 9.
Como o final das raízes cúbicas são todos diferentes não precisa achar o termo central já faço direto.
Basta saber a tabela básica.
Eliminamos o penúltimo número e o antepenúltimo número, em seguida extraímos a raiz cúbica exata do número da esquerda, se o número da esquerda não for uma raiz cúbica exata, procuramos a raiz cúbica exata mais próxima deste número e menor que ele. E no final adicionamos o final da raiz segundo a regra do olho clínico.
Exemplo 01:
√1331
√1##1
↓
√ 1
↓
1+ 1
↓
11
Exemplo 02:
√10648
√10##8
↓
√ 8
↓
2 + 2
↓
22
Exemplo 03:
√110592
√110##2
↓
√ 64
↓
4 + 8
↓
48
Exemplo 04:
√1000000
√1000##0
↓
√1000
↓
10 + 0
↓
100
CONHECENDO MEU SISTEMA DE EXTRAÇÃO DE RAÍZES QUADRADAS EXATAS, VOCÊ VAI PERCEBER QUE EXTRAIR RAIZES CÚBICAS É AINDA MUITO MAIS FÁCIL.
REGRA GERAL:
Em qualquer um dos processos a primeira coisa a ser feita é eliminarmos o penúltimo número e o antepenúltimo número.
2.1 Eliminarmos o penúltimo e o antepenúltimo número.
Exemplo 01:
√1331
√1##1
Exemplo 02:
√10648
√10##8
Exemplo 03:
√110592
√110##2
Exemplo 04:
√1000000
√1000##0
2.2 Extrai a raiz cúbica exata do número da esquerda, se o número da esquerda não for uma raiz cúbica exata, procuramos à raiz cúbica exata mais próxima deste número e menor que ele.
Exemplo 01:
√1331
√1##1
↓
√1
↓
1
Exemplo 02:
√10648
√10##8
↓
√8
↓
2
Exemplo 03:
√110592
√110##2
↓
√ 64
↓
4
Exemplo 04:
√1000000
√1000##0
↓
√1000
↓
10
2.4 Olho clínico.
*Ao olhar para a raiz, saber o
algarismo final de seu resultado.
Fórmula para saber o final da raiz.
Qn=n3
√ 0 = 0
√ 1 = 1
√ 8 = 2
√ 27 = 3
√ 64 = 4
√125 = 5
√216 = 6
√343 = 7
√512 = 8
√729 = 9
*Se a raiz cúbica terminar em 8 terá final 2, ou seja o que falta para completar 10.
*Se a raiz cúbica terminar em 2 terá final 8, ou seja o que falta para completar 10.
*Se a raiz cúbica terminar em 7 terá final 3, ou seja o que falta para completar 10.
*Se a raiz cúbica terminar em 3 terá final 7, ou seja o que falta para completar 10.
Os restantes das raízes cúbicas terão como algarismo final do seu resultado o mesmo algarismo que ela termina.
*Se a raiz cúbica terminar em 0 terá final 0.
*Se a raiz cúbica terminar em 1 terá final 1.
*Se a raiz cúbica terminar em 4 terá final 4.
*Se a raiz cúbica terminar em 5 terá final 5.
*Se a raiz cúbica terminar em 6 terá final 6.
*Se a raiz cúbica terminar em 9 terá final 9.
Como o final das raízes cúbicas são todos diferentes não precisa achar o termo central já faço direto.
Basta saber a tabela básica.
Eliminamos o penúltimo número e o antepenúltimo número, em seguida extraímos a raiz cúbica exata do número da esquerda, se o número da esquerda não for uma raiz cúbica exata, procuramos a raiz cúbica exata mais próxima deste número e menor que ele. E no final adicionamos o final da raiz segundo a regra do olho clínico.
Exemplo 01:
√1331
√1##1
↓
√ 1
↓
1+ 1
↓
11
Exemplo 02:
√10648
√10##8
↓
√ 8
↓
2 + 2
↓
22
Exemplo 03:
√110592
√110##2
↓
√ 64
↓
4 + 8
↓
48
Exemplo 04:
√1000000
√1000##0
↓
√1000
↓
10 + 0
↓
100
sábado, 24 de abril de 2010
Raiz quadrada Maiz Facil
√1024
Para retirar uma raiz quadrada desse numero tinha que fazer o mmc que é o metodo muito complicado, mas tem um meto do mais facil que é esse.
√1024
-Elemina o penultimo numero.
√10#4
-Retira a raiz quadrada das estrema ou os numeros ao lado do numero eliminado.
√10 Qual é a raiz quadrada de 10?.Não existe mas se não tem qual é o mais proximo para baixo é 9 que a raiz quadrada de 9 é 3.Então cooca o 3 embaixo e depois repita-o. Assim:
√10#4
3
3
-Agora retira a raiz quadrada de 4 que é 2 e colocando assim:
√10#4
3 2
3
-Depois abaixo de 2 a diferença dele para dez que é 8.Assim:
√10#4
3 2
3 8
-A raiz quadrada de 1024 é 32 ou 38.Você pega o numero que se repetiu e mutiplica pelo seu sucessor que é 4.
√10#4 12 então 10 é maior ou menor que 12, 10 é menor que 12.Então Escolha a menor
3X4 2 numero que é 32.E você em casa cofire se esta certo.
3 8
Para retirar uma raiz quadrada desse numero tinha que fazer o mmc que é o metodo muito complicado, mas tem um meto do mais facil que é esse.
√1024
-Elemina o penultimo numero.
√10#4
-Retira a raiz quadrada das estrema ou os numeros ao lado do numero eliminado.
√10 Qual é a raiz quadrada de 10?.Não existe mas se não tem qual é o mais proximo para baixo é 9 que a raiz quadrada de 9 é 3.Então cooca o 3 embaixo e depois repita-o. Assim:
√10#4
3
3
-Agora retira a raiz quadrada de 4 que é 2 e colocando assim:
√10#4
3 2
3
-Depois abaixo de 2 a diferença dele para dez que é 8.Assim:
√10#4
3 2
3 8
-A raiz quadrada de 1024 é 32 ou 38.Você pega o numero que se repetiu e mutiplica pelo seu sucessor que é 4.
√10#4 12 então 10 é maior ou menor que 12, 10 é menor que 12.Então Escolha a menor
3X4 2 numero que é 32.E você em casa cofire se esta certo.
3 8
sábado, 3 de abril de 2010
Numeração decimal:Numeração decimal
Numeração decimal
Leitura dos números decimais
No sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma posição ou ordem com as seguintes denominações:
CentenasDezenasUnidadesDécimosCentésimosMilésimosDécimos milésimosCentésimos milésimos Milionésimos
Partes inteiras Partes decimais
Leitura
Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras:
décimos ........................................... : quando houver uma casa decimal;
centésimos....................................... : quando houver duas casas decimais;
milésimos......................................... : quando houver três casas decimais;
décimos milésimos ........................ : quando houver quatro casas decimais;
centésimos milésimos ................... : quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.
Exemplos:
1,2: um inteiro e dois décimos;
2,34: dois inteiros e trinta e quatro centésimos
Quando a parte inteira do número decimal é zero, lemos apenas a parte decimal.
Exemplos:
0,1 : um décimo;
0,79 : setenta e nove centésimos
Observação:
1. Existem outras formas de efetuar a leitura de um número decimal. Observe a leitura do número 5,53:
Leitura convencional: cinco inteiros e cinquenta e três centésimos;
Outras formas: quinhentos e cinquenta e três centésimos;
cinco inteiros, cinco décimos e três centésimos.
2. Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após o último algarismo e acrescentar zero(s). Exemplos:
4 = 4,0 = 4,00
75 = 75,0 = 75,00
Leitura dos números decimais
No sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma posição ou ordem com as seguintes denominações:
CentenasDezenasUnidadesDécimosCentésimosMilésimosDécimos milésimosCentésimos milésimos Milionésimos
Partes inteiras Partes decimais
Leitura
Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras:
décimos ........................................... : quando houver uma casa decimal;
centésimos....................................... : quando houver duas casas decimais;
milésimos......................................... : quando houver três casas decimais;
décimos milésimos ........................ : quando houver quatro casas decimais;
centésimos milésimos ................... : quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.
Exemplos:
1,2: um inteiro e dois décimos;
2,34: dois inteiros e trinta e quatro centésimos
Quando a parte inteira do número decimal é zero, lemos apenas a parte decimal.
Exemplos:
0,1 : um décimo;
0,79 : setenta e nove centésimos
Observação:
1. Existem outras formas de efetuar a leitura de um número decimal. Observe a leitura do número 5,53:
Leitura convencional: cinco inteiros e cinquenta e três centésimos;
Outras formas: quinhentos e cinquenta e três centésimos;
cinco inteiros, cinco décimos e três centésimos.
2. Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após o último algarismo e acrescentar zero(s). Exemplos:
4 = 4,0 = 4,00
75 = 75,0 = 75,00
Numeração decimal
Números Decimais
O francês Viète (1540 - 1603) desenvolveu um método para escrever as frações decimais; no lugar de frações, Viète escreveria números com vírgula. Esse método, modernizado, é utilizado até hoje.
Observe no quando a representação de frações decimais através de números decimais:
Fração Decimal = Números Decimais
1/10 = 0,1
1/100 = 0,01
1/1000 = 0,001
1/10000 = 0,0001
Fração Decimal = Números Decimais
5/10 = 0,5
5/100 = 0,05
5/1000 = 0,005
5/10000 = 0,0005
Fração Decimal = Números Decimais
117/10 = 11,7
117/100 = 1,17
117/1000 = 0,117
117/10000 = 0,0117
Os números 0,1, 0,01, 0,001; 11,7, por exemplo, são números decimais.
Nessa representação, verificamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.
O francês Viète (1540 - 1603) desenvolveu um método para escrever as frações decimais; no lugar de frações, Viète escreveria números com vírgula. Esse método, modernizado, é utilizado até hoje.
Observe no quando a representação de frações decimais através de números decimais:
Fração Decimal = Números Decimais
1/10 = 0,1
1/100 = 0,01
1/1000 = 0,001
1/10000 = 0,0001
Fração Decimal = Números Decimais
5/10 = 0,5
5/100 = 0,05
5/1000 = 0,005
5/10000 = 0,0005
Fração Decimal = Números Decimais
117/10 = 11,7
117/100 = 1,17
117/1000 = 0,117
117/10000 = 0,0117
Os números 0,1, 0,01, 0,001; 11,7, por exemplo, são números decimais.
Nessa representação, verificamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.
Numeros decimais:introdução
Numeração decimal
Introdução
A figura nos mostra um paralelepípedo com suas principais dimensões em centímetros.
Essas dimensões são apresentadas sob a forma de notação decimal, que corresponde a uma outra forma de representação dos números racionais fracionários.
A representação dos números fracionária já era conhecida há quase 3.000 anos, enquanto a forma decimal surgiu no século XVI com o matemático francês François Viète.
O uso dos números decimais é bem superior ao dos números fracionários. Observe que nos computadores e nas máquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal.
Frações Decimais
Observe as frações:
Os denominadores são potências de 10.
Assim:
Denominam-se frações decimais, todas as frações que apresentam potências de 10 no denominador.
Introdução
A figura nos mostra um paralelepípedo com suas principais dimensões em centímetros.
Essas dimensões são apresentadas sob a forma de notação decimal, que corresponde a uma outra forma de representação dos números racionais fracionários.
A representação dos números fracionária já era conhecida há quase 3.000 anos, enquanto a forma decimal surgiu no século XVI com o matemático francês François Viète.
O uso dos números decimais é bem superior ao dos números fracionários. Observe que nos computadores e nas máquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal.
Frações Decimais
Observe as frações:
Os denominadores são potências de 10.
Assim:
Denominam-se frações decimais, todas as frações que apresentam potências de 10 no denominador.
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