Resolução de Sistemas

Resolução de Sistemas



A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

Estudaremos a seguir alguns métodos:



Método de substituição

Solução

determinamos o valor de x na 1ª equação.

x = 4 - y

Substituímos esse valor na 2ª equação.
2 . (4 - y) -3y = 3

Resolvemos a equação formada.
8 - 2y -3y = 3

8 - 2y -3y = 3

-5y = -5 => Multiplicamos por -1

5y = 5



y = 1


Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.
x + 1 = 4

x = 4 - 1

x = 3


A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).
V = {(3, 1)}

Método da adição

Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição.

Resolva o sistema abaixo:



Solução

Adicionamos membros a membros as equações:



2x = 16



x = 8



Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:

8 + y = 10

y = 10 - 8

y = 2

A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)

V = {(8, 2)}

Regra de três composta

Regra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas
8
5
Caminhões
20
x
Volume
160
5 x 125

Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).




A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



Logo, serão necessários 25 caminhões.


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2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

Solução: montando a tabela:

Homens
8
4
Carrinhos
20
x
Dia
5
16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



Logo, serão montados 32 carrinhos.


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3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:



Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.


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Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.

Função do 2º grau

Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas características, pois ela deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax² + bx + c, sendo que a, b e c são números reais com a diferente de zero. Concluímos que a condição para que uma função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode ser igual a zero.




Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax² + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.



Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta.



Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:



f(x) = 5x² – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)



f(x) = x² – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)



f(x) = – x²; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)



Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.



Exemplo 1



A função do 2º grau f(x) = – x2 + x – 2, pode ser representada por y = – x² + x – 2. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos primeiro estipular alguns valores para x. Vamos dizer que x = –3; –2; –1; 0; 1; 2. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:



x = – 3

y = – (–3)² + (–3) – 2

y = –9 – 3 – 2

y = – 12 – 2

y = – 14



x = – 2

y = –( – 2)² + (– 2) – 2

y = – 4 – 2 – 2

y = – 8



x = –1

y = – (–1)² + (–1) – 2

y = – 1 – 1 – 2

y = – 2 – 2

y = – 4



x = 0

y = 0² + 0 – 2

y = – 2



x = 1

y = – 1² + 1 – 2

y = – 1 + 1 – 2

y = – 2





x = 2

y = – 2² + 2 – 2

y = – 4 + 2 – 2

y = – 4



Exemplo 2



Dada a função y = 2x² + x + 3, determine o conjunto imagem referente aos domínios –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.



x = –2

y = 2*(–2)² + (–2) + 3

y = 2*4 – 2 + 3

y = 8 – 2 + 3

y = 9



x = –1

y = 2*(–1)² + (–1) + 3

y = 2 – 1 + 3

y = 4



x = 0

y = 2*0² + 0 + 3

y = 3



x = 1

y = 2*1² + 1 + 3

y = 2 + 1 + 3

y = 6



x = 2

y = 2*2² + 2 + 3

y = 8 + 2 + 3

y = 13



x = 3

y = 2*3² + 3 + 3

y = 18 + 3 + 3

y = 24



x = 4

y = 2*4² + 4 + 3

y = 32 + 4 + 3

y = 39



Exemplo 3



Com relação à função f(x) = 3x² – 5x + m² – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.



f(0) = 0, isso significa que x = 0 e y = 0. A função f(x) = 3x² – 5x + m² – 9 pode ser escrita assim: y = 3x² – 5x + m² – 9, agora basta fazer as substituições:



f(x) = 3x² – 5x + m² – 9

f(0) = 3 * 0² – 5 * 0 + m² – 9

0 = m² – 9

m² = 9

m = √9

m = – 3 ou + 3

Função do 1º grau

Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma dependente da outra, isto é, para cada valor atribuído a x corresponde um valor para y. Definimos essa dependência como função, nesse caso, y está em função de x. O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função e os valores de y são a imagem da função.


Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma função do 1º grau a lei de formação será a seguinte: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.

Esse tipo de função deve ser dos Reais para os Reais.

A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano. Observe:

Função crescente                      Função decrescente

Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.

Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem.
Exemplos de funções do 1º grau
y = 4x + 2, a = 4 e b = 2
y = 5x – 9, a = 5 e b = –9
y = – 2x + 10, a = – 2 e b = 10
y = 3x, a = 3 e b = 0
y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1
Raiz ou zero de uma função do 1º grau
Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso considerar
y = 0. De acordo com gráfico, no instante em que y assume valor igual a zero, a reta intersecta o eixo x em um determinado ponto, determinando a raiz ou o zero da função.
Vamos determinar a raiz das funções a seguir:
y = 4x + 2
y = 0
4x + 2 = 0
4x = –2
x = –2/4
x = –1/2
A reta representada pela função y = 4x + 2 intersecta o eixo x no seguinte valor: –1/2
y = – 2x + 10
y = 0
– 2x + 10 = 0
– 2x = – 10 (–1)
2x = 10
x = 10/2
x = 5
A reta representada pela função y = – 2x + 10 intersecta o eixo x no seguinte valor: 5

O Teorema de Pitágoras no Cotidiano

O Teorema de Pitágoras possui inúmeras aplicações nas diversas áreas de atuação do homem. A área de transportes é considerada muito importante para o desenvolvimento de um país, o teorema de Pitágoras está presente nela contribuindo na sua logística e no desenvolvimento cotidiano, no intuito de dinamizar cada vez mais o setor.

Imagine a seguinte situação:

Dois navios A e B partem em sentidos diferentes: o primeiro para o norte e o segundo para o leste, o navio A com velocidade constante de 30 Km/h e o navio B com velocidade constante de 40 Km/h. Qual será a distância entre eles após 6 horas?

Distância percorrida pelo navio A após 6 horas:

D = 30*6 = 180 Km

Distância percorrida pelo navio B após 6 horas:

D = 40 * 6 = 240 Km

Veja o esquema:

Aplicando o Teorema de Pitágoras

Exemplo 2




De posse de um mapa (veja figura), o motorista de um caminhão de entrega de eletrodomésticos precisa saber qual a distância entre as cidades A e B, pois dependendo da distância precisa abastecer o caminhão para não ter surpresas desagradáveis na viagem, falta de combustível ou atraso na entrega.

Area de um triângulo

Nos estudos relacionados à Geometria, o triângulo é considerado uma das figuras mais importantes em razão da sua imensa utilidade no cotidiano. Com o auxílio de um retângulo e suas propriedades, demonstraremos como calcular a área de um triângulo.



No retângulo a seguir foi traçada uma de suas diagonais, dividindo a figura em duas partes iguais.

Note que a área total do retângulo é dada pela expressão A = b x h, considerando que a diagonal dividiu o retângulo em duas partes iguais formando dois triângulos, a área de cada triângulo será igual à metade da área total do retângulo, constituindo na seguinte expressão matemática:

A utilização dessa expressão necessita da altura do triângulo, sendo identificada como uma reta perpendicular à base, isto é, forma com a base um ângulo de 90º.

Exemplo 1

Observe o triângulo equilátero (possui os lados com medidas iguais). Vamos calcular a sua área:

Como o valor da altura não está indicado, devemos calculá-lo, para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras no seguinte triângulo retângulo:

4²= h² + 22


16 = h² + 4

16 – 4 = h²

12 = h²

h = √12

h = 2√3 cm
Calculado o valor da altura, basta utilizar a fórmula demonstrada para obter a área da região triangular.

Portanto, a área do triângulo equilátero que possui os lados medindo 4cm é de 4√3cm².



Classificação dos triangulos



triângulos na construção da base de um telhado

 Classificação de Triângulos

O triângulo é considerado uma importante figura no ramo da Geometria, pois através dele podemos estabelecer várias relações fundamentais, como exemplo temos uma relação muito importante utilizada na Geometria e na Trigonometria, que é o Teorema de Pitágoras.
Podemos definir o triângulo como um polígono formado por três segmentos de retas que se cruzam duas a duas, formando três vértices, três ângulos e três lados.
Os triângulos se classificam quanto ao tamanho da medida dos seus lados e quanto à medida de seus ângulos.

Classificação de um triângulo quanto à medida de seus lados.

Triângulo equilátero: possui os três lados com medidas iguais.
Triângulo isósceles: possui dois lados com medidas iguais.
Triângulo escaleno: possui os três lados com medidas diferentes.

Classificação de um triângulo quanto à medida de seus ângulos

Triângulo acutângulo: possui todos os ângulos com medidas menores que 90º.
Triângulo retângulo: possui um ângulo com medida igual a 90º.
Triângulo obtusângulo: possui um ângulo obtuso, maior que 90º.

Equações literais

Existem equações que possuem outras letras além da variável x, elas representam valores reais. Essas equações recebem o nome de equações literais do 1º grau na incógnita x. Exemplos:
 xb = 6

 2ax + 3a = bx

 px + n = p

 2x + 4m = x + 9m

 2ax – 4ax = 3b + x

 ax – 8x = 6a + 8

Resolução de Equações Literais
Exemplo 1

3x + 3m = x + 9m

3x – x = 9m – 3m

2x = 6m

x = 6m/2

x = 3m



Exemplo 2

3ax – 2(ax + b) = 6b + x

3ax – 2ax – 2b = 6b + x

ax – x = 6b + 2b

ax – x = 8b

x(a – 1) = 8b

Exemplo 3

Verificamos que a intenção de resolver uma equação literal é isolar a incógnita e estabelecer seu valor. A objetividade destas equações está ligada a resoluções de sistemas pelo método da substituição, onde isolamos uma das variáveis numa equação e substituímos o valor na outra equação. Observe mais alguns exemplos de resolução de equações literais:

Exemplo 4

Exemplo 5

Exemplo 6

8ax – 5(ax + b) = 6b + 3x

8ax – 5ax – 5b = 6b + 3x

8ax – 5ax – 3x = 6b + 5b

3ax – 3x = 11b

x(3a – 3) = 11b